Aldilla (Alhamdulillah Dia lahir): November 2011

Fungsi gelombang sangat sering digunakan dalam mekanika kuantum.Disini saya akan mencoba menambahkan satu lagi fungsi gelombang yaitu fungsi gelombang dalam momentum (momentum space). Fungsi gelombang dalam momentum space ini menggambarkan probabilitas menemukan partikel dengan momentum antara $p$ dan $p+\mbox{d}p$ .
Misalkan sebuah momentum mempunyai fungsi gelombang dalam momentum space $\phi(p)$ , maka probabilitas menemukan partikel dengan momentum antara $p$ dan $p+\mbox{d}p$ adalah

$P(p) \mbox{d}p = |\phi(p)|^2 \mbox{d}p . \qquad (1)$

Dengan $|\phi(p)|^2$ adalah perkalian fungsi gelombang dengan konjugatnya,

$|\phi(p)|^2 = \phi(p)\ \phi^{*}(p) . \qquad(2)$

Fungsi gelombang dalam momentum space ini juga telah dinormalisasi.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p)\ \phi^{*}(p) \mbox{d}p = 1 . \qquad(3)$

Sekarang kita akan mencari hubungan fungsi gelombang dalam momentum space dan fungsi gelombang dalam ruang untuk partikel bebas. Misalkan sebuah partikel bebas mempunyai fungsi gelombang dalam ruang $\psi(x)$ dan fungsi gelombang dalam momentum space $\phi(p)$ . Fungsi gelombang dalam ruang dapat dinyatakan sebagai superposisi dari keadaan partikel dengan berbagai macam nilai momentum sehingga dapat ditulis sebagai

$\psi(x) = A [\phi(p_1) e^{i p_1 x/\hbar}\mbox{d}p + \phi(p_2) e^{i p_2 x/\hbar}\mbox{d}p + \phi(p_3) e^{i p_3 x/\hbar}\mbox{d}p + \dots] \qquad(4)$

dengan $A$ adalah konstanta normalisasi dan faktor $e^{i p_n x/\hbar}$ menggambarkan fasa gelombang untuk keadaan dengan momentum $p_n$ . Karena momentum sebuah partikel bebas bisa berapa saja, persamaan (4) dapat dituliskan sebagai

$\psi(x) = A \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{i p x/\hbar}\mbox{d}p .\qquad(5)$

Dari persamaan (5), kita bisa dapatkan konjugat dari $\psi(x)$ , yaitu

$\psi^*(x) = A^*\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi^*(p') e^{-i p' x/\hbar} \mbox{d}p' .\qquad(6)$

dengan tanda kutip pada momentum untuk membedakan dengan momentum pada persamaan (5).
Seperti fungsi gelombang pada momentum space, fungsi gelombang dalam ruang juga ternormalisasi,

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\ \psi^*(x) \mbox{d}x = 1 . \qquad(7)$

Dengan mensubstitusi $\psi(x)$ dari persamaan (5) dan $\psi^*(x)$ dari persamaan (6) ke persamaan (7), kita dapatkan

$\begin{array}{rcl} 1 &=& \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\ \psi^*(x) \mbox{d}x \\ &=&A A^* \int\limits_{-\infty}^ {\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') e^{i (p-p') x/\hbar}\ \mbox{d}p\ \mbox{d} p'\ \mbox{d}x . \end{array} \qquad(8)$

Dengan menggunakan identitas fungsi delta Dirac,

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i (k-k') x} \mbox{d}x = 2 \pi \delta(k-k')$

dan

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-x_0) \mbox{d}x = f(x_0) ,$

persamaan (8) menjadi

$\begin{array}{rcl} 1 &=& |A|^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') e^{i (p-p') x/\hbar}\ \mbox{d} x\ \mbox{d}p'\ \mbox{d} p \\ &=& 2\pi \hbar |A|^2 \int \limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') \delta(p-p') \mbox{d}p' \mbox{d}p \\ &=& \int \limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p)\mbox{d}p .\end{array} \qquad(9)$

Dengan menggunakan kondisi normalisasi pada persamaan (3), kita dapatkan

$1 = 2 \pi \hbar |A|^2 .$

Jadi, kita dapatkan konstanta normalisasi sebesar

$\begin {array}{rcl}|A|^2 &=& \frac{1}{2\pi\hbar} \\ A &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} .\end{array} \qquad(10)$

Dengan memasukkan persamaan (10) ke persamaan (5), kita dapatkan hubungan fungsi gelombang dalam ruang dan fungsi gelombang dalam momentum space.

$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{i p x/ \hbar}\ \mbox{d}p .\qquad(11)$

Saya mencoba menjelaskan sedikit tentang salah satu fenomena yang cukup aneh di “dunia kuantum” yaitu quantum entanglement. apa ya quantum entanglement itu ? .setau aku itu tu sejumlah partikel yang memiliki sebuah hubungan yang tidak diizinkan oleh fisika klasik.
Daripada bingung,,Langsung bayangin aja dhe,,Tinjau 2 partikel di tempat yang berjauhan dan tidak saling berhubungan. Dengan melakukan pengukuran pada salah satu partikel, berarti kita telah mengubah fungsi gelombang partikel yang lainnya. Padahal antara 2 partikel tersebut tidak ada hubungan.
Menurut contoh dari buku Quantum Computation and Quantum Information (Nielsen), misalkan ada dua partikel dengan keadaan keduanya adalah

$\phi = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$

Dengan melakukan pengukuran terhadap salah satu partikel, keadaan partikel yang lainnya dapat menyesuaikan. Misalkan pengkuran terhadap satu partikel menghasilkan state 0, maka fungsi gelombang untuk dua partikel tersebut collapse menjadi

$\phi' = |00\rangle$

Kok bisa ya ?? Hmm,,,cari sendiri ya.,.. Nah..Dari situ, terlihat bahwa keadaan yang mungkin untuk partikel yang lain hanya state 0. Jadi, dengan melakukan pengukuran terhadap satu partikel, kita dapat mengetahui keadaan partikel yang lain.

Aldilla (Alhamdulillah Dia lahir)

Kamis, 24 November 2011

To Infinitive vs Gerund

Kamis, 17 November 2011

Fungsi Gelombang dalam Ruang dan Momentum

Kamis, 10 November 2011

Quantum Entanglement