Aldilla (Alhamdulillah Dia lahir): Fungsi Gelombang dalam Ruang dan Momentum

Fungsi gelombang sangat sering digunakan dalam mekanika kuantum.Disini saya akan mencoba menambahkan satu lagi fungsi gelombang yaitu fungsi gelombang dalam momentum (momentum space). Fungsi gelombang dalam momentum space ini menggambarkan probabilitas menemukan partikel dengan momentum antara $p$ dan $p+\mbox{d}p$ .
Misalkan sebuah momentum mempunyai fungsi gelombang dalam momentum space $\phi(p)$ , maka probabilitas menemukan partikel dengan momentum antara $p$ dan $p+\mbox{d}p$ adalah

$P(p) \mbox{d}p = |\phi(p)|^2 \mbox{d}p . \qquad (1)$

Dengan $|\phi(p)|^2$ adalah perkalian fungsi gelombang dengan konjugatnya,

$|\phi(p)|^2 = \phi(p)\ \phi^{*}(p) . \qquad(2)$

Fungsi gelombang dalam momentum space ini juga telah dinormalisasi.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p)\ \phi^{*}(p) \mbox{d}p = 1 . \qquad(3)$

Sekarang kita akan mencari hubungan fungsi gelombang dalam momentum space dan fungsi gelombang dalam ruang untuk partikel bebas. Misalkan sebuah partikel bebas mempunyai fungsi gelombang dalam ruang $\psi(x)$ dan fungsi gelombang dalam momentum space $\phi(p)$ . Fungsi gelombang dalam ruang dapat dinyatakan sebagai superposisi dari keadaan partikel dengan berbagai macam nilai momentum sehingga dapat ditulis sebagai

$\psi(x) = A [\phi(p_1) e^{i p_1 x/\hbar}\mbox{d}p + \phi(p_2) e^{i p_2 x/\hbar}\mbox{d}p + \phi(p_3) e^{i p_3 x/\hbar}\mbox{d}p + \dots] \qquad(4)$

dengan $A$ adalah konstanta normalisasi dan faktor $e^{i p_n x/\hbar}$ menggambarkan fasa gelombang untuk keadaan dengan momentum $p_n$ . Karena momentum sebuah partikel bebas bisa berapa saja, persamaan (4) dapat dituliskan sebagai

$\psi(x) = A \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{i p x/\hbar}\mbox{d}p .\qquad(5)$

Dari persamaan (5), kita bisa dapatkan konjugat dari $\psi(x)$ , yaitu

$\psi^*(x) = A^*\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi^*(p') e^{-i p' x/\hbar} \mbox{d}p' .\qquad(6)$

dengan tanda kutip pada momentum untuk membedakan dengan momentum pada persamaan (5).
Seperti fungsi gelombang pada momentum space, fungsi gelombang dalam ruang juga ternormalisasi,

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\ \psi^*(x) \mbox{d}x = 1 . \qquad(7)$

Dengan mensubstitusi $\psi(x)$ dari persamaan (5) dan $\psi^*(x)$ dari persamaan (6) ke persamaan (7), kita dapatkan

$\begin{array}{rcl} 1 &=& \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\ \psi^*(x) \mbox{d}x \\ &=&A A^* \int\limits_{-\infty}^ {\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') e^{i (p-p') x/\hbar}\ \mbox{d}p\ \mbox{d} p'\ \mbox{d}x . \end{array} \qquad(8)$

Dengan menggunakan identitas fungsi delta Dirac,

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i (k-k') x} \mbox{d}x = 2 \pi \delta(k-k')$

dan

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-x_0) \mbox{d}x = f(x_0) ,$

persamaan (8) menjadi

$\begin{array}{rcl} 1 &=& |A|^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') e^{i (p-p') x/\hbar}\ \mbox{d} x\ \mbox{d}p'\ \mbox{d} p \\ &=& 2\pi \hbar |A|^2 \int \limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') \delta(p-p') \mbox{d}p' \mbox{d}p \\ &=& \int \limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p)\mbox{d}p .\end{array} \qquad(9)$